Existenz schwach quasisymmetrischer Magnetfelder ohne Rotationstransformation in asymmetrischen toroidalen Domänen

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 11322 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

Eine Quasisymmetrie ist eine spezielle Symmetrie, die die Fähigkeit eines Magnetfelds verbessert, geladene Teilchen einzufangen. Quasisymmetrische Magnetfelder könnten die Realisierung von Fusionsreaktoren (Stellaratoren) der nächsten Generation mit überlegener Leistung im Vergleich zu Tokamak-Designs ermöglichen. Dennoch fehlt für die Existenz solcher magnetischer Konfigurationen aufgrund der Komplexität der zugrunde liegenden Gleichungen ein mathematischer Beweis. Hier beweisen wir die Existenz schwach quasisymmetrischer Magnetfelder durch die Konstruktion expliziter Beispiele. Dieses Ergebnis wird durch eine maßgeschneiderte Parametrisierung sowohl des Magnetfelds als auch der toroidalen Hostdomäne erreicht, die zur Erfüllung der Quasisymmetrie optimiert sind. Die erhaltenen Lösungen liegen in einem toroidalen Volumen vor, sind glatt, besitzen verschachtelte Flussoberflächen, sind unter kontinuierlichen euklidischen Isometrien nicht invariant, haben einen nicht verschwindenden Strom, weisen eine verschwindende Rotationstransformation auf und passen in den Rahmen der anisotropen Magnetohydrodynamik. Aufgrund der verschwindenden Rotationstransformation sind diese Lösungen jedoch nicht für den Partikeleinschluss geeignet.

Die Kernfusion ist eine Technologie mit dem Potenzial, die Art und Weise der Energiegewinnung zu revolutionieren. Bei dem auf magnetischem Einschluss basierenden Ansatz zur Kernfusion werden geladene Teilchen (der Plasmabrennstoff) mithilfe eines geeignet ausgelegten Magnetfelds in einem ringförmigen Reaktor (Toroid) eingefangen. In einem Tokamak1 ist der Reaktorbehälter axialsymmetrisch (siehe Abb. 1a). Die Achsensymmetrie wird mathematisch durch die Unabhängigkeit physikalischer Größen, wie des Magnetfeldes \(\varvec{B}\) und seines Moduls B, vom Ringwinkel \(\varphi\) beschrieben. Eine solche Symmetrie ist für die Qualität des Tokamak-Einschlusses von entscheidender Bedeutung, da sie die Erhaltung des Drehimpulses \(p_{\varphi }\) geladener Teilchen gewährleistet. Die Konstanz von \(p_{\varphi }\) reicht jedoch nicht aus, um Teilchenbahnen in einem begrenzten Volumen einzuschränken, da Teilchen zusätzlich zu der Tendenz, magnetischen Feldlinien zu folgen, über das Magnetfeld driften. Diese senkrechte Drift verursacht schließlich einen Partikelverlust an der Reaktorwand, wodurch der für die Aufrechterhaltung von Fusionsreaktionen erforderliche Einschluss verschlechtert wird. In einem Tokamak werden senkrechte Drifts daher unterdrückt, indem ein axialer elektrischer Strom durch den Einschlussbereich geleitet wird, der zusätzlich zu dem externen Magnetfeld, das von den das Einschlussgefäß umgebenden Spulen erzeugt wird, ein poloidales Magnetfeld erzeugt (siehe Abb. 1a, b). Das Gesamtmagnetfeld bildet daher verdrehte helikale Feldlinien um den Torus. Leider ist die Steuerung eines solchen elektrischen Stroms schwierig, da er durch die Zirkulation des brennenden Brennstoffs selbst aufrechterhalten wird, was einen stabilen Betrieb der Maschine zu einer praktischen Herausforderung macht.

(a) und (b): Magnetfeldkonfiguration in einem axialsymmetrischen Tokamak. Das gesamte einschließende Magnetfeld \(\varvec{B}=\varvec{B}_{\varphi }+\varvec{B}_{\vartheta }\) ist durch eine axiale (toroidale) Komponente \(\varvec{ B}_{\varphi }\), erzeugt durch externe Spulen, plus einer poloidalen Komponente \(\varvec{B}_{\vartheta }\), erzeugt durch einen elektrischen Strom, der in \(\varphi \)-Richtung fließt. Dieser Strom wird durch das eingeschlossene Plasma selbst aufrechterhalten. Dabei bezeichnen \(\varphi \) und \(\vartheta \) den toroidalen Winkel bzw. den poloidalen Winkel. Der Einfachheit halber ist der Reaktorbehälter, der die externen Spulen vom Einschlussbereich trennt, nicht dargestellt. (a) Das gesamte Magnetfeld \(\varvec{B}\) über einer Flussoberfläche \(\Psi =\mathrm{Konstante}\), so dass \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =0\ ). (b) Schematische Darstellung der toroidalen Komponente \(\varvec{B}_{\varphi }\) und der poloidalen Komponente \(\varvec{B}_{\vartheta }\) auf einem Querschnitt \(\varphi =\mathrm {Konstante}\). (c) Schematische Darstellung eines Stellarators: Das einschließende Magnetfeld ist asymmetrisch und wird vollständig von externen Spulen erzeugt, was bedeutet, dass der zugehörige elektrische Strom im Einschlussbereich verschwindet, \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B }=\varvec{0}\). Abbildung erstellt mit Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Im Gegensatz zu Tokamaks sind Stellaratoren2,3 so konzipiert, dass sie geladene Teilchen durch ein Vakuummagnetfeld einschließen, das von entsprechend gefertigten asymmetrischen Spulen erzeugt wird (siehe Abb. 1c). In diesem Zusammenhang wird Symmetrie als Invarianz unter kontinuierlichen euklidischen Isometrien definiert, dh Transformationen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die den euklidischen Abstand zwischen Punkten bewahren. In der Praxis handelt es sich bei diesen Transformationen um Kombinationen aus Translationen und Rotationen mit drei entsprechenden Symmetrietypen: translatorisch, rotatorisch (einschließlich axial) und helikal. Das von den asymmetrischen Spulen eines Stellarators erzeugte Magnetfeld ist mit der Feldlinienverdrehung ausgestattet, die erforderlich ist, um den mit der senkrechten Driftbewegung verbundenen Partikelverlust zu minimieren. Dadurch entfällt im Prinzip die Notwendigkeit, innerhalb des Einschlussbereichs einen elektrischen Strom zu treiben, und ermöglicht somit den Betrieb des Reaktors in einem Zustand nahe einem stationären Zustand (in der Praxis können auch in Stellaratoren Ströme vorhanden sein, diese sind jedoch deutlich kleiner als die in einem Tokamak). Leider hat der Verlust der Achsensymmetrie einen hohen Preis: Im Allgemeinen ist der Drehimpuls \(p_{\varphi }\) nicht mehr konstant und der Einschluss wird beeinträchtigt. Allerdings kann ein erhaltener Impuls, der die Teilchenbahnen räumlich einschränkt, wiederhergestellt werden, wenn das Magnetfeld einer allgemeineren Art von Symmetrie genügt, der sogenannten Quasisymmetrie3,4. Das wesentliche Merkmal eines quasisymmetrischen Magnetfelds, dessen genaue Definition5 in Gl. (1) ist die Invarianz \(\varvec{u}\cdot \nabla B=0\) des Moduls \(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) in einer bestimmten Richtung in Raum \(\varvec{u}\) (die Quasisymmetrie). Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass es zwei Arten von Quasisymmetrie gibt6,7,8,9: schwache Quasisymmetrie (die in der vorliegenden Arbeit betrachtete) und starke Quasisymmetrie. Im ersteren Fall führt die Quasisymmetrie zu einem Impulserhaltungsimpuls erster Ordnung in der Leitzentrumsentwicklung, während im letzteren Fall das Erhaltungsgesetz aus einer exakten Symmetrie des Leitzentrums-Hamiltonoperators resultiert. Darüber hinaus kann der Begriff der Quasisymmetrie auf Omnigenität verallgemeinert werden, eine Eigenschaft, die die Unterdrückung senkrechter Drifts im Durchschnitt garantiert10.

Trotz der Tatsache, dass mehrere Stellaratoren gebaut wurden, die auf Quasisymmetrie oder Omnigenität abzielen11,12, dass erhebliche Anstrengungen zur Optimierung von Stellaratoren unternommen werden (siehe z. B.13) und dass quasisymmetrische Magnetfelder mit hoher numerischer Genauigkeit erhalten wurden14, ist derzeit die Existenz quasisymmetrischer Magnetfelder bekannt Magnetfelder fehlen mathematische Beweise. Dieser Mangel liegt in der Komplexität der partiellen Differentialgleichungen der Quasisymmetrie begründet, die zu den schwierigsten in der mathematischen Physik zählen. Tatsächlich ist einerseits das toroidale Volumen, in dem die Lösung gesucht wird, selbst eine Variable des Problems. Da die zugrunde liegenden Gleichungen andererseits zur Klasse der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung gehören, ist es schwierig, allgemeine Ergebnisse zu ermitteln, die über die Existenz lokaler Lösungen hinausgehen, indem man analytische Standardwerkzeuge wie die Methode der Charakteristiken anwendet. Die Verfügbarkeit quasisymmetrischer Magnetfelder hängt auch stark von den zusätzlichen Einschränkungen ab, die dem Magnetfeld auferlegt werden. Wenn beispielsweise ein quasisymmetrisches Magnetfeld im Rahmen der idealen isotropen Magnetohydrodynamik gesucht wird, legt die Analyse von15 nahe, dass solche Konfigurationen nicht existieren (siehe auch16,17,18,19), da ein überbestimmtes Gleichungssystem vorliegt, in dem geometrische Einschränkungen zahlreicher sind verfügbaren Freiheitsgrade. Das Problem der Überbestimmung ist weniger schwerwiegend20,21,22, wenn quasisymmetrische magnetische Felder Gleichgewichten der idealen anisotropen Magnetohydrodynamik23,24,25 entsprechen, bei denen der Skalardruck durch einen Drucktensor ersetzt wird. In diesem Zusammenhang wurde gezeigt,26 dass lokale quasisymmetrische Magnetfelder existieren, obwohl solche lokalen Lösungen aufgrund mangelnder Periodizität um den Torus nur in einem Teil einer toroidalen Domäne definiert sind.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, die Existenz schwach quasisymmetrischer Magnetfelder in toroidalen Domänen durch die Konstruktion expliziter Beispiele nachzuweisen. Dieser „konstruktive“ Ansatz hat den Vorteil, dass er die intrinsischen Schwierigkeiten der allgemeinen Gleichungen, die die Quasisymmetrie regeln, umgeht und auf der Methode der Clebsch-Parametrisierung27 basiert, die eine effektive Darstellung der beteiligten Variablen, einschließlich der Form der Grenze, die den Eingrenzungsbereich umschließt, liefert. Die in der vorliegenden Arbeit beschriebenen quasisymmetrischen Magnetfelder liegen in asymmetrischen toroidalen Volumina, sind glatt, haben verschachtelte Flussoberflächen, sind unter kontinuierlichen euklidischen Isometrien nicht invariant und können als Gleichgewichte der idealen anisotropen Magnetohydrodynamik angesehen werden. Dennoch sind diese Ergebnisse mit einigen Einschränkungen verbunden: Da die konstruierten Lösungen nur darauf optimiert sind, eine schwache Quasisymmetrie zu erfüllen, fehlen den gefundenen Magnetfeldern andere Merkmale, die aus Sicht des Einschlusses wünschenswert wären. Insbesondere weisen sie eine verschwindende Rotationstransformation auf (die Anzahl der poloidalen Transite, die eine Magnetfeldlinie während eines toroidalen Transits durchführt, ist Null), sie sind keine Vakuumfelder und ihre Quasisymmetrie liegt nicht auf toroidalen Flussoberflächen. Obwohl die konstruierten Lösungen quasisymmetrisch sind, sind sie daher nicht geeignet, Partikel innerhalb eines begrenzten Bereichs einzuschließen. Ob zusätzliche Eigenschaften wie eine nicht verschwindende Rotationstransformation oder ein verschwindender Strom mit einer schwachen Quasisymmetrie vereinbar sind, bleibt daher eine offene theoretische Frage.

Sei \(\Omega \subset \mathbb {R}^3\) ein glatt begrenztes Gebiet mit Rand \(\partial \Omega \). Im Kontext des Stellarator-Designs stellt \(\Omega \) das vom magnetisch eingeschlossenen Plasma eingenommene Volumen dar, während die Grenzfläche \(\partial \Omega \simeq \mathrm{T}^2\) die Topologie eines Torus hat ( eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit der Gattung 1). Es ist wichtig zu beachten, dass das Gefäß \(\partial \Omega \) eines Stellarators im Gegensatz zum herkömmlichen Tokamak-Design weder axiale noch helikale Symmetrie aufweist. In \(\Omega \) soll ein stationäres Magnetfeld \(\varvec{B}\left( {\varvec{x}}\right) \) schwach quasisymmetrisch sein, vorausgesetzt, es existiert ein Vektorfeld \(\ varvec{u}\left( {\varvec{x}}\right) \) und eine Funktion \(\zeta \left( {\varvec{x}}\right) \), sodass das folgende System partieller Differentialgleichungen entsteht hält,

wobei \(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) der Modul von \(\varvec{B}\) ist, \(\varvec{n}\) die Einheit nach außen normal zu \ bezeichnet (\partial \Omega \), und \(\varvec{u}\) ist die Richtung der Quasisymmetrie. Wie bereits erläutert, stellt System (1a) die Existenz eines Impulserhaltungsimpulses erster Ordnung in der Anordnung des Leitzentrums sicher, von dem erwartet wird, dass er den Partikeleinschluss verbessert. Normalerweise wird die Funktion \(\zeta \) mit einer Flussfunktion \(\Psi \) mit toroidalen Pegelsätzen identifiziert. Dann liegen sowohl \(\varvec{B}\) als auch \(\varvec{u}\) auf toroidalen Flussflächen \(\Psi =\mathrm{Konstante}\) und der aus der Quasisymmetrie resultierende Impulserhalt ist gut angenähert durch die Flussfunktion \(\Psi \). Obwohl diese Eigenschaft aus Sicht der Eingrenzung äußerst wünschenswert ist, da sie Teilchenbahnen auf einen begrenzten Bereich einschränkt, kann im Prinzip die schwache Quasisymmetrie (1) erfüllt werden, selbst wenn sich die Niveausätze von \(\zeta \) von toroidalen Oberflächen unterscheiden (siehe z. B. 5). . Insbesondere das Zulassen von Konfigurationen mit \(\zeta \ne \Psi \) bietet die interessante Möglichkeit, eine gute Eingrenzung zu erreichen, wenn die Ebenensätze von \(\zeta \) begrenzte Regionen mit einer Topologie einschließen, die von einem Torus abweichen kann. Mathematisch stellen die vier Gleichungen im System (1a) sogenannte Lie-Symmetrien der Lösung dar, also das Verschwinden der Lie-Ableitung \(\mathfrak {L}_{\varvec{\xi }}T\), die die Gleichung quantifiziert infinitesimale Differenz zwischen dem Wert eines Tensorfelds T an einem bestimmten Punkt und dem Wert, der durch Advektion des Tensorfelds entlang des vom Vektorfeld \(\varvec{\xi }\) erzeugten Flusses erhalten wird. Insbesondere drücken die erste und die dritte Gleichung, die implizieren, dass sowohl \(\varvec{B}\) als auch \(\varvec{u}\) Solenoidvektorfelder sind, die Erhaltung von Volumina aus, die entlang \(\varvec{B) adviert werden }\) und \(\varvec{u}\) gemäß \(\mathfrak {L}_{\varvec{B}}dV=\mathfrak {L}_{\varvec{u}}dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{B}}\right) dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{u}}\right) dV=0\), wobei \(dV=dxdydz\) das Volumen ist Element in \(\mathbb {R}^3\). In ähnlicher Weise drückt die zweite Gleichung in (1a) die Invarianz des Vektorfeldes \(\varvec{B}\) entlang \(\varvec{u}\) gemäß \(\mathfrak {L}_{\varvec{u) aus }}\varvec{B}=\varvec{u}\cdot \nabla \varvec{B}-\varvec{B}\cdot \nabla \varvec{u}=\nabla \times \left( {\varvec{B }\times \varvec{u}}\right) =\varvec{0}\), während die vierte Gleichung die Invarianz des Moduls \(B^2\) entlang \(\varvec{u}\) ausdrückt, d \(\mathfrak {L}_{\varvec{u}}B^2=\varvec{u}\cdot \nabla B^2=0\). Weitere Einzelheiten zu diesen Punkten finden Sie unter26.

Die Konstruktion einer Lösung von (1) wird dadurch erschwert, dass \(\varvec{B}\), \(\varvec{u}\), \(\zeta \) und \(\partial \Omega \) sind keine unabhängigen Parameter, sondern müssen gleichzeitig optimiert werden und dabei die topologischen Anforderungen an die Form der Begrenzungsfläche berücksichtigen. Beispielsweise verhindert die Zuweisung der Grenzfläche \(\partial \Omega \) von vornherein im Allgemeinen die Existenz von Lösungen aufgrund von Überbestimmtheit (die verfügbaren Freiheitsgrade reichen nicht aus, um die Quasisymmetriegleichungen zu erfüllen). Eine bequeme Möglichkeit, \(\varvec{B}\), \(\varvec{u}\), \(\zeta \) und \(\partial \Omega \) gleichzeitig zu optimieren, ist die Verwendung von Clebsch-Parametern27, die es ermöglichen die Durchsetzung der topologischen Anforderung an \(\partial \Omega \), das ein Torus sein muss, und die Extraktion der verbleibenden geometrischen Freiheitsgrade aus \(\varvec{B}\), \(\varvec{u} \) und \(\zeta \). Um dies zu sehen, beachten Sie zunächst, dass die Grenze \(\partial \Omega \) als Niveaumenge einer Flussfunktion \(\Psi \) (von der angenommen wird, dass sie existiert) ausgedrückt werden kann, so dass \(\varvec{B} \cdot \nabla \Psi =0\) in \(\Omega \). Dies impliziert insbesondere, dass die Einheit außerhalb der Normalen zur Grenze \(\partial \Omega \) als \(\varvec{n}=\nabla \Psi /\left|{\nabla \Psi }\right| geschrieben werden kann \). Als nächstes parametrisieren Sie \(\varvec{B}\) und \(\varvec{u}\) als

wobei die Clebsch-Parameter \(\beta _1\), \(\beta _2\), \(u_1\) und \(u_2\) (möglicherweise mehrwertige) Funktionen sind, die aus den Quasisymmetriegleichungen bestimmt werden müssen. (1) und die topologische Anforderung, dass \(\Psi \) toroidale Oberflächen definiert. Hierbei ist zu beachten, dass man aufgrund des Lie-Darboux-Theorems28 für ein gegebenes glattes Solenoidvektorfeld \(\varvec{v}\) immer einwertige Funktionen \(\alpha _1\) und \(\ alpha _2\), definiert in einer hinreichend kleinen Umgebung U eines gewählten Punktes \(\varvec{x}\in \Omega \), so dass \(\varvec{v}=\nabla \alpha _1\times \nabla \alpha _2 \) in U. Im Lichte der Parametrisierung (2) ist die Randbedingung \(\varvec{B}\cdot \varvec{n}=\varvec{B}\cdot \frac{\nabla \Psi }{\left |{\nabla \Psi }\right|}=0\) auf \(\partial \Omega \) kann nun identisch erfüllt werden, indem man fordert, dass \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2 }\Rechts) \). Unter der Annahme \(\varvec{u}\ne \varvec{0}\) impliziert die vierte Gleichung in (1a), dass der Modul \(B^2\) eine Funktion \(f_B\left( {u_1 ,u_2}\right) \) von \(u_1\) und \(u_2\). Somit reduziert sich System (1) unter Verwendung der Parametrisierung (2) auf

Beim Übergang von (1)–(3) haben wir die Tatsache ausgenutzt, dass die erste und dritte Gleichung in (1a) identisch erfüllt sind.

Unsere Aufgabe besteht nun darin, System (3) zu lösen, indem wir \(\beta _1\), \(\beta _2\), \(u_1\), \(u_2\), \(f_B\), \(\zeta \) und \(\Psi \), so dass die Niveaumengen von \(\Psi \) toroidale Flächen definieren. Die direkte Integration von (3) ist aufgrund der Anzahl und Komplexität der damit verbundenen geometrischen Einschränkungen eine mathematisch schwierige Aufgabe. Daher ist es zweckmäßig, von bekannten Speziallösungen auszugehen, die axialsymmetrischen Konfigurationen entsprechen, und dann eine maßgeschneiderte Verallgemeinerung zum Brechen der Symmetrie durchzuführen. Das einfachste axialsymmetrische Vakuummagnetfeld ist gegeben durch

Das Magnetfeld (4) erfüllt System (1), wenn beispielsweise die Quasisymmetrie zu \(\varvec{u}_0=\varvec{B}_0\) gewählt wird. Die entsprechenden Flussflächen sind durch axialsymmetrische Tori gegeben, die durch Ebenensätze der Funktion erzeugt werden

wobei \(r_0\) eine positive reelle Konstante ist, die die radiale Position der Toroidachse (Hauptradius) darstellt. Vergleich von Gl. (2) mit Gl. (4) und (5) sieht man, dass \(\beta _1=u_1=z\), \(\beta _2=u_2=\log r\), \(B_0^2=1/r^2=e ^{-2u_2}\), und \(\Psi _0=\frac{1}{2}\left[ \left( {e^{\beta _2}-r_0}\right) ^2+\beta _1^ 2\right] \).

Der axialsymmetrische Torus (5) kann auf eine größere Klasse toroidaler Flächen26 verallgemeinert werden

In dieser Notation sind \(\mu \), \(\mu _0\), \(\mathcal {E}\) und h einwertige Funktionen mit den folgenden Eigenschaften. Für jedes z misst die Funktion \(\mu \) den Abstand eines Punktes in der \(\left( {x,y}\right) \)-Ebene vom Ursprung in \(\mathbb {R}^2\\ ). Das einfachste dieser Maße ist die Radialkoordinate r. Allgemeiner gesagt können auf jeder Ebene \(z=\mathrm{Konstante}\) Ebenenmengen von \(\mu \) von Kreisen abweichen und beispielsweise eine elliptische Form aufweisen. Die Funktion \(\mu _0\) weist den \(\mu \)-Wert zu, bei dem sich die Toroidachse befindet. Für den axialsymmetrischen Torus \(\Psi _0\) gilt \(\mu _0=r_0\). Die Funktion \(\mathcal{E}>0\) drückt die Abweichung toroidaler Querschnitte (Schnittpunkte des Torus mit Ebenenmengen des Toroidwinkels) von Kreisen aus. Beispielsweise ist der axialsymmetrische Torus \(\Psi _\mathrm{ell}=\frac{1}{2}\left[ \left( {r-r_0}\right) ^2+2z^2\right] \ ) entsprechend \(\mathcal{E}=2\) hat einen elliptischen Querschnitt. Schließlich kann die Funktion h als Maß für die vertikale Verschiebung der Toroidachse aus der \(\left( {x,y}\right) \)-Ebene interpretiert werden. Abbildung 2 zeigt verschiedene toroidale Oberflächen, die durch (6) erzeugt wurden.

Toroidale Flächen, die als Ebenensätze der durch Gl. definierten Funktion \(\Psi \) erhalten werden. (6). (a) Axialsymmetrischer Torus \(\Psi =0,15\) mit \(\mu =r\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E}=1\) und \(h =0\). (b) Elliptischer Torus \(\Psi =0.1\) mit \(\mu =\sqrt{x^2+0.4 y^2}\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E }=1\) und \(h=0\). Beachten Sie, dass Abschnitte \(z=\mathrm{Konstante}\) Ellipsen bilden. (c) Axialsymmetrischer Torus \(\Psi =0,15\) mit \(\mu =r\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E}=0,4\) und \(h =0\). Beachten Sie, dass Abschnitte \(\varphi =\mathrm{Konstante}\) Ellipsen bilden. (d) Torus \(\Psi =0.1\) mit \(\mu =r\), \(\mu _0=3\), \(\mathcal {E}=1\) und \(h=1 +0,5\sin \left( {4\varphi }\right) \). (e) Torus \(\Psi =0.1\) mit \(\mu =r\), \(\mu _0=3+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \), \(\ mathcal {E}=5+2.5\sin \left( {4\varphi }\right) \), und \(h=1+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \). (f) Torus \(\Psi =0.1\) mit \(\mu =\sqrt{x^2+(0.9+0.1\sin \left( {3\varphi }\right) )y^2}\), \(\mu _0=3+0.5\sin \left( {5\varphi }\right) \), \(\mathcal {E}=5+2.5\cos \left( {3\varphi }\right) \ ) und \(h=1+0,5\sin \left( {4\varphi }\right) \). Abbildung erstellt mit Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Die durch (5) gegebene Achsensymmetrie des Torus \(\Psi _0\) kann gebrochen werden, indem eine Abhängigkeit vom Toruswinkel \(\varphi \) in eine der Funktionen \(\mu \), \(\mu _0\), \(\mathcal {E}\) oder h, die in (6) vorkommen. Setzen wir \(\mu =r\), nehmen \(\mu _0\) und \(\mathcal {E}\) als positive Konstanten und betrachten eine symmetriebrechende vertikale axiale Verschiebung \(h=h\left( {r,\varphi ,z}\right) \). Damit das entsprechende \(\Psi \) eine toroidale Oberfläche definiert, muss die Funktion h einwertig sein. Daher muss \(\varphi \) in h als Argument einer periodischen Funktion erscheinen. Der einfachste Ansatz für h ist daher

Dabei ist \(m\in \mathbb {Z}\) eine ganze Zahl, \(\epsilon \) ein positiver Steuerparameter, sodass das standardmäßige axialsymmetrische Magnetfeld \(\varvec{B}_0\) mit Flussflächen \( \Psi _0\) kann im Grenzfall \(\epsilon \rightarrow 0\) wiederhergestellt werden und eine Funktion von r und z bestimmt werden. Erinnern Sie sich nun an das aus Gl. (3) Die Funktion \(\Psi \) hängt mit den Clebsch-Potenzialen \(\beta _1\) und \(\beta _2\) zusammen, die das Magnetfeld \(\varvec{B}=\nabla \beta _1\) erzeugen. mal \nabla \beta _2\) nach \(\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \). Aus dem Vergleich mit dem axialsymmetrischen Fall (5) schließen wir daher, dass die Analogie gilt, wenn \(\beta _1=zh\) und \(\beta _2=\log r\). Definiert man \(\eta =m\varphi +g\), folgt daraus, dass das in Frage kommende quasisymmetrische Magnetfeld ist

wobei g durch Erzwingen der Quasisymmetrie bestimmt werden muss. Beobachten Sie das als nächstes

Ein wesentliches Merkmal der Quasisymmetrie (3) besteht darin, dass der Modul \(B^2\) nur als Funktion zweier Variablen geschrieben werden kann, \(B^2=f_B\left( {u_1,u_2}\right) \) . Aus Gl. (9) Man sieht, dass dieses Ergebnis erreicht werden kann, indem \(\partial g/\partial z=q\left( {r}\right) \) für eine Radialfunktion \(q\left( {r}\right) gesetzt wird ) \), so dass \(u_1=\eta \), \(u_2=\log r\) und auch

mit \(v\left( {r}\right) \) eine Radialfunktion. Die mögliche Richtung der Quasisymmetrie ist daher

mit \(\sigma \left( {\eta ,r}\right) \) eine zu bestimmende Funktion von \(\eta \) und r. Da nach Konstruktion \(B^2=B^2\left( {u_1,u_2}\right) \), \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \) und sowohl \(\varvec{B}\) als auch \(\varvec{u}\), wie durch (8) und (11) gegeben, magnetisch sind, ist die einzige verbleibende Gleichung im System (3), die erfüllt werden muss, die erste eins. Insbesondere haben wir

Daher ist System (3) mit der Einstellung \(\sigma =\sigma \left( {r}\right) \) zufrieden

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir \(\sigma =-r^3\) so setzen, dass \(\zeta =mr\) und die quasisymmetrische Konfiguration gegeben ist durch

wobei \(\mathcal{E}\) eine positive reelle Konstante ist.

Damit die Lösungsfamilie (14) sowohl als quasisymmetrisch als auch ohne kontinuierliche euklidische Isometrien gilt, müssen wir überprüfen, dass das Magnetfeld (14a) bei einer geeigneten Kombination von Translationen und Rotationen nicht invariant ist. Um dies zu sehen, betrachten Sie den Fall \(q=1/r\) und \(v=0\) entsprechend

wobei \(\mathcal{E}\) eine positive reelle Konstante ist. Beachten Sie, dass das Magnetfeld (15a) in jedem Bereich \(V\subset \mathbb {R}^3\) glatt ist, der nicht die vertikale Achse \(r=0\) enthält. Um die Existenz einer kontinuierlichen euklidischen Isometrie für (15a) auszuschließen, reicht es aus, die Gleichung zu zeigen

hat keine Lösung für irgendeine Wahl konstanter Vektorfelder \(\varvec{a},\varvec{b}\in \mathbb {R}^3\) mit \(\varvec{a}^2+\varvec{b }^2\ne 0\). Da \(\varvec{\xi }=\varvec{a}+\varvec{b}\times \varvec{x}\) den Generator kontinuierlicher euklidischer Isometrien darstellt, verhindert die Unmöglichkeit, (16) zu erfüllen, das Magnetische Feld \(\varvec{B}\) davon ab, translatorische, axiale oder helikale Symmetrie zu besitzen. Weitere Einzelheiten zu diesem Punkt finden Sie unter 26. Als nächstes führen wir erneut \(\eta =m\varphi +z/r\) aus Gl. (15a) man hat

Es folgt dem

Es seien \(\left( {a_x,a_y,a_z}\right) \) und \(\left( {b_x,b_y,b_z}\right) \) die kartesischen Komponenten von \(\varvec{a}\) und \(\varvec{b}\). Auf der Oberfläche \(\eta =0\), entsprechend \(z=z\left( {x,y}\right) =-mr\varphi =-m\arctan \left( {y/x}\right ) \sqrt{x^2+y^2}\), wir haben \(\sin \eta =0\) und \(\cos \eta =1\), und daher,

Diese Größe verschwindet unter der Voraussetzung, dass \(a_x=a_y=b_x=b_y=0\). Betrachten Sie nun die Oberfläche \(\eta =\pi /2\), was \(z=z\left( {x,y}\right) =r\left( {\pi /2-m\varphi }\ impliziert rechts) =\sqrt{x^2+y^2}\left( {\pi /2-m\arctan \left( {y/x}\right) }\right) \). In diesem Fall \(\sin \eta =1\) während \(\cos \eta =0\). Da außerdem die einzigen überlebenden Komponenten in \(\varvec{\xi }\) diejenigen sind, die von \(a_z\) und \(b_z\) stammen, gilt \(\varvec{\xi }\cdot \nabla r= 0\), und daher

Diese Größe verschwindet unter der Voraussetzung, dass \(a_z=b_z=0\). Daher kann das quasisymmetrische Magnetfeld (15a) keine kontinuierlichen euklidischen Isometrien besitzen. Gleichung (20) legt auch nahe, dass das Magnetfeld (15a) mit einer verallgemeinerten Art von helikaler Symmetrie ausgestattet ist (obwohl diese Symmetrie nicht einer Isometrie von \(\mathbb {R}^3\) entspricht). Tatsächlich erwartet man in einem helikal symmetrischen Magnetfeld \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z}\right) \) für eine Konstante m. Die erhaltene Lösung (15a) ist jedoch so, dass \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \), wie aus (17) hervorgeht. In diesem Sinne besitzt das Magnetfeld (15a) auf jeder magnetischen Oberfläche \(r=\mathrm{Konstante}\) eine andere helikale Symmetrie, parametrisiert durch 1/r.

Ebenso ist die Flussfunktion \(\Psi \), definiert durch Gl. (15c) ist unter kontinuierlichen euklidischen Isometrien nicht invariant. Tatsächlich, die Gleichung

hat keine Lösung für irgendeine nichttriviale Wahl von \(\varvec{a},\varvec{b}\in \mathbb {R}^3\). Dies lässt sich leicht für \(\left|{m}\right|>1\) verifizieren. Tatsächlich reicht es in diesem Fall aus, \(\varvec{\xi }\cdot \nabla \Psi \) über die Linie \(r=r_0\), \(z=0\) auszuwerten, parametrisiert durch \(\varphi \). Hier haben wir

Diese Größe verschwindet gleichermaßen, vorausgesetzt, dass \(a_x=a_y=a_z=b_x=b_y=b_z=0\).

Untersuchen wir die Eigenschaften der quasisymmetrischen Konfiguration (15). Beachten Sie zunächst, dass Ebenensätze von (15c) toroidale Oberflächen definieren (siehe Abb. 3a), was bedeutet, dass das Magnetfeld (15a) verschachtelte Flussoberflächen aufweist. Beachten Sie als nächstes, dass die Funktion \(\zeta \) mit \(\varvec{B}\times \varvec{u}=\nabla \zeta \) proportional zur Radialkoordinate ist, d. h. \(\zeta =mr\ ). Diese Funktion ist mit dem durch die Quasisymmetrie erzeugten Impulserhaltung \(\bar{p}\) verbunden. Insbesondere haben wir5

Hierbei bezeichnet \(v_{\parallel }\) die Komponente der Geschwindigkeit eines geladenen Teilchens entlang des Magnetfelds \(\varvec{B}\), während \(\epsilon _{\mathrm{gc}}\sim \ rho /L\) ist ein kleiner Parameter, der mit der Anordnung des Führungszentrums verbunden ist, \(\rho \) der Gyroradius und L eine charakteristische Längenskala für das Magnetfeld. Daraus folgt, dass geladene Teilchen, die sich im Magnetfeld (15a) bewegen, ihre radiale Position annähernd beibehalten, da \(\bar{p}\ approx -\frac{m}{\epsilon _{\mathrm{gc}}}r\) . Diese Eigenschaft begünstigt einen guten Einschluss, kann jedoch nicht verhindern, dass Partikel in vertikaler Richtung driften. Die Situation ist also analog zum Fall eines axialsymmetrischen Vakuummagnetfeldes \(\varvec{B}_{0}=\nabla \varphi \). Pegelsätze von \(\zeta =mr\) auf einer Flussoberfläche (15c) sind in Abb. 3b dargestellt. Diese Konturen entsprechen magnetischen Feldlinien, da das Magnetfeld (15a) so ist, dass \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =\varvec{B}\cdot \nabla r=0\) und Feldlinien sind Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung \(\dot{\varvec{x}}=\varvec{B}\). Beachten Sie insbesondere, dass die magnetischen Feldlinien nicht verdreht sind (die Rotationstransformation ist Null) und durch die Schnittpunkte der Flächen \(\Psi =\mathrm{Konstante}\) und \(r=\mathrm{Konstante}) gegeben sind. \), was bedeutet, dass ihre Projektion auf der Ebene \(\left( {x,y}\right) \) ein Kreis ist. Diagramme des Magnetfelds (15a) und seines Moduls \(B^2\) sind in Abb. 3c, d dargestellt. Es ist auch erwähnenswert, dass das Magnetfeld (15a) kein Vakuumfeld ist. Tatsächlich hat es einen nicht verschwindenden Strom \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\), gegeben durch

Die Abbildungen 3e, f zeigen Diagramme des aktuellen Feldes \(\varvec{J}\) und des entsprechenden Moduls \(J^2\). Die Lorentzkraft \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) kann als berechnet werden

Es ist nicht schwer zu überprüfen, dass die rechte Seite dieser Gleichung nicht als Gradient eines Druckfeldes \(\nabla P\) geschrieben werden kann. Daher repräsentiert das quasisymmetrische Magnetfeld (15a) kein Gleichgewicht der idealen Magnetohydrodynamik. Dennoch kann es als Gleichgewicht der anistropen Magnetohydrodynamik \(\varvec{J}\times \varvec{B}=\nabla \cdot \Pi \) betrachtet werden, vorausgesetzt, dass die Komponenten \(P_{\perp },P_{\ parallel }\) des Drucktensors \(\Pi ^{ij}=P_{\perp }\delta ^{ij}+\left( {P_{\parallel }-P_{\perp }}\right) B^ iB^j/B^2\) sind geeignet gewählt. Tatsächlich reicht es aus, \(P_{\perp }=\left( {P_0-B^2}\right) /2\) und \(P_{\parallel }=\left( {P_0+B^2 }\right) /2\) mit \(P_0\) einer reellen Konstante (siehe dazu 26). Diagramme der Lorentzkraft \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) und ihres Moduls \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\) sind in den Abbildungen angegeben. 3g, h. Beachten Sie als Nächstes, dass die durch Gl. gegebene Quasisymmetrie \(\varvec{u}\) (15b) ist nicht tangential zu den in (15c) definierten toroidalen Flussflächen \(\Psi \). In der Tat,

Diagramme der Quasisymmetrie \(\varvec{u}\) und ihres Moduls \(u^2\) finden sich in Abb. 3i, j.

Die quasisymmetrische Konfiguration (15) für \(r_0=3\), \(\epsilon =0,2\), \(m=4\) und \(\mathcal{E}=0,7\). (a) Flussoberfläche \(\Psi =0,1\). (b) Nivelliert Sätze von r auf der Flussoberfläche \(\Psi =0,1\). Diese Konturen entsprechen magnetischen Feldlinien. (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (j): Diagramme des Magnetfelds \(\varvec{B}\), des Moduls \ (B^2\), der elektrische Strom \(\varvec{J}\), der Modul \(J^2\), die Lorentzkraft \(\varvec{J}\times \varvec{B}\), der Modul \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\), die Quasisymmetrie \(\varvec{u}\) und der Modul \(u^2\ ) auf der Flussoberfläche \(\Psi =0,1\). Abbildung erstellt mit Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Betrachten wir abschließend, wie sich die Quasisymmetrie der Konfiguration (15) mit dem üblichen Verständnis vergleichen lässt, dass der Modul eines quasisymmetrischen Magnetfelds von einer Flussfunktion \(\Psi _b\) und einer linearen Kombination des Toroidwinkels \(\varphi) abhängt _b\) und Poloidwinkel \(\vartheta _b\), also \(B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) mit M, N ganzen Zahlen. Wenn \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \), sind auf jeder Flussoberfläche die Konturen des Moduls \(B^2\) in der \(\left( {\varphi _b,\vartheta _b}\right) \)-Ebene gerade Linien bilden. Für das quasisymmetrische Magnetfeld (15a) gilt \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \). Daher kann die Übereinstimmung mit der üblichen Einstellung durch die Identifizierung \(\Psi _b\rightarrow r\), \(\varphi _b\rightarrow \varphi \) und \(\vartheta _b\rightarrow z/r\) erhalten werden. . Diese Entsprechung kann genauer gemacht werden, wenn man sich daran erinnert, dass die Eigenschaft \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) aus dem Schreiben des Tripelvektors resultiert Produktformulierung der Quasisymmetrie, \(\nabla \Psi _b\times \nabla B\cdot \nabla \left( {\varvec{B}\cdot \nabla B}\right) =0\), durch Boozer-Koordinaten \(\ left( {\Psi _b,\varphi _b,\vartheta _b}\right) \). In diesen Koordinaten hat das Magnetfeld den Ausdruck \(\varvec{B}=B_{\Psi _b}\left( {\Psi _b,\varphi _b,\vartheta _b}\right) \nabla \Psi _b+B_{\ varphi _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \varphi _b+B_{\vartheta _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \vartheta _b\), was \(\ varvec{J}\cdot \nabla \Psi _b=0\). Dies ist eine Eigenschaft, die durch magnetohydrodynamische Gleichgewichte mit isotropem Druck erfüllt wird. Wie oben diskutiert, gehört die Lösung (15a) jedoch nicht zur Klasse der magnetohydrodynamischen Gleichgewichte mit isotropem Druck. Daher ist die Existenz von Boozer-Koordinaten nicht trivial. Dennoch ist es für die Lösung (15a) möglich, verallgemeinerte Boozer-Koordinaten \(\left( {\Psi _{gb},\varphi _{gb},\vartheta _{gb}}\right) =\left( {r,\eta /r,-z/r}\right) \) mit der Eigenschaft, dass die Jacobi-Einheit \(\mathcal {J}=\nabla \Psi _{gb}\cdot \nabla \varphi _{gb} \times \nabla \vartheta _{gb}=-m/r^3\) ist eine Funktion der Flussfunktion \(\Psi _{gb}=r\) und die Quasisymmetrie wird durch die Bedingung \(\partial B/\partial \vartheta _{gb}=0\) oder \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) (siehe dazu 6) .

Abbildung 4 zeigt, wie die Konturen des quasisymmetrischen Magnetfelds (15a) gerade Linien in der \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \)-Ebene bilden. Als nächstes ist es nützlich zu bestimmen, wie stark die Konturen von \(B^2\) von den geraden Linien auf jeder Flussoberfläche \(\Psi \) abweichen. Beachten Sie zu diesem Zweck, dass Gl. (15c) kann invertiert werden, um \(r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) \) mit \(\eta =m\varphi +z/r\) zu erhalten, so dass der Modul ( 17) kann in der Form \(B^2=B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \) geschrieben werden. Abbildung 5 zeigt Konturen von \(B^2\) auf der Ebene \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) für einen festen Wert von \(\Psi \) und verschiedene Auswahlmöglichkeiten Parameter \(\epsilon \), der den Grad der Asymmetrie der Lösung steuert. Beachten Sie insbesondere, wie sich die Lösung (15) für kleinere Werte von \(\epsilon \) der Axialsymmetrie annähert.

Modul \(B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) des quasisymmetrischen Magnetfelds (15a) für \(\epsilon =0,2\) und \(m=4\) wie in der \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \)-Ebene für verschiedene Werte der Radialkoordinate r gesehen. (a) Plotten Sie auf dem Niveausatz \(r=1\). (b) Plotten Sie auf der Ebenenmenge \(r=2\). Beobachten Sie, wie Konturen von \(B^2\) gerade Linien bilden. Abbildung erstellt mit Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Modul \(B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \) mit \(\eta =m\varphi +z/r \) des quasisymmetrischen Magnetfelds (15a) für \(r_0=3\), \(m=4\) und \(\mathcal {E}=0,7\) wie im \(\left( {m\ varphi ,z/r}\right) \) Ebene entsprechend \(\Psi =0,1\). (a) Der Fall \(\epsilon =0,01\). (b) Der Fall \(\epsilon =0,05\). Beachten Sie, dass die weißen Bereiche im Diagramm die Tatsache widerspiegeln, dass für gegebene Werte von \(\Psi \) und \(\varphi \) der Bereich von z begrenzt ist. Abbildung erstellt mit Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Zusammenfassend haben wir die Existenz schwach quasisymmetrischer Magnetfelder in toroidalen Volumina nachgewiesen, indem wir mithilfe der Methode der Clebsch-Parametrisierung explizite Beispiele (14) konstruiert haben. Die erhaltenen Konfigurationen sind Lösungen des Systems (1) mit den folgenden Eigenschaften. Im optimierten toroidalen Bereich \(\Omega \) ist das Magnetfeld \(\varvec{B}\) glatt und mit verschachtelten Flussflächen \(\Psi \) ausgestattet. Sowohl \(\varvec{B}\) als auch \(\Psi \) weisen keine kontinuierlichen euklidischen Isometrien auf, also keine Invarianz unter einer geeigneten Kombination von Translationen und Rotationen. Das Magnetfeld \(\varvec{B}\) weist eine verschwindende Rotationstransformation auf, während die Quasisymmetrie \(\varvec{u}\) nicht tangential zu den Konturen der in (14c) definierten Flussfunktion \(\Psi \) ist. liegt aber auf Flächen mit konstantem Radius r. Insbesondere ist \(\varvec{B}\times \varvec{u}=m\nabla r\) mit m eine ganze Zahl, während \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/ r}\right) \) im Beispiel (15). Der aus der Quasisymmetrie resultierende Erhaltungsimpuls ist durch (23) gegeben, was ungefähr der radialen Position eines geladenen Teilchens entspricht. Das Magnetfeld \(\varvec{B}\) ist kein Vakuumfeld, da ein Strom \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\ne \varvec{0}\) vorhanden ist. Die erhaltenen quasisymmetrischen Magnetfelder (14a) können als Lösungen der anisotropen Magnetohydrodynamik angesehen werden, wenn die Komponente des Drucktensors geeignet gewählt wird26.

Zusätzlich zum mathematischen Beweis der Existenz von Lösungen für System (1) mit den oben beschriebenen Eigenschaften bietet diese Arbeit einen alternativen theoretischen Rahmen für die numerischen und experimentellen Bemühungen, die dem modernen Stellaratordesign gewidmet sind, und ebnet möglicherweise den Weg für die Entwicklung von Semi -analytische Schemata zur Optimierung einschließender Magnetfelder. Das nächste Ziel der vorliegenden Theorie bestünde darin, die erhaltenen Ergebnisse weiter zu verbessern, indem die Existenz von Vakuumlösungen \(\nabla \times \varvec{B}=\varvec{0}\) des Systems (1) so ermittelt wird, dass der Modul des Magnetfelds kann als Funktion der Flussfunktion und einer linearen Kombination von toroidalen und poloidalen Winkeln geschrieben werden, \(B^2=B^2\left( {\Psi ,M\vartheta -N\varphi }\right ) \), und insbesondere um die Existenz quasisymmetrischer Vakuumkonfigurationen mit der Feldlinienverdrehung nachzuweisen, die zum effektiven Einfangen geladener Teilchen erforderlich ist.

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Die NS-Forschung wurde teilweise durch die JSPS KAKENHI Grants Nr. 21K13851 und Nr. 22H00115 unterstützt. Der Autor würdigt die nützliche Diskussion mit Z. Qu, D. Pfefferlé, RL Dewar, T. Yokoyama und mehreren Mitgliedern der Simons Collaboration on Hidden Symmetries and Fusion Energy.

Graduate School of Frontier Sciences, Universität Tokio, Kashiwa, Chiba, 277-8561, Japan

Naoki Sato

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NS entwickelte den theoretischen Formalismus, führte die analytischen Berechnungen durch und verfasste das Manuskript.

Korrespondenz mit Naoki Sato.

Die während der aktuellen Studie generierten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

Der Autor erklärt keine konkurrierenden Interessen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Sato, N. Existenz schwach quasisymmetrischer Magnetfelder ohne Rotationstransformation in asymmetrischen toroidalen Domänen. Sci Rep 12, 11322 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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Eingegangen: 20. April 2022

Angenommen: 27. Juni 2022

Veröffentlicht: 05. Juli 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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